Question

函數(shù)y=f（x）定義在R上單調(diào)遞減且f（0）≠0，對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=φ，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用f（m+n）=f（m）•f（n）及y=f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，化簡(jiǎn)集合A，得到確定出集合A中元素為圓心是原點(diǎn)，半徑為1的單位圓內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；令m=n=0，代入f（m+n）=f（m）•f（n），根據(jù)f（0）≠0，得到f（0）的值，進(jìn)而根據(jù)f（x）單調(diào)，把集合B中的1變?yōu)閒（0），進(jìn)而確定出集合B為直線ax-y+2=0上點(diǎn)組成的集合，根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)圖象，先求出直線與圓相切時(shí)的a的值，根據(jù)圖象寫(xiě)出滿足題意的a的范圍即可．

解答：解：由集合A中的不等式f（x²）•f（y²）＞f（1），
變形為：f（x²）•f（y²）=f（x²+y²）＞f（1），
又函數(shù)y=f（x）定義在R上單調(diào)遞減，得到x²+y²＜1，
即集合A是圓心為（0，0），半徑為1的圓內(nèi)的所有的點(diǎn)所構(gòu)成的集合；
令m=0，n=0，得到f（0+0）=f（0）•f（0），即f（0）[f（0）-1]=0，又f（0）≠0，
所以f（0）=1，則集合B中的等式f（ax-y+2）=1=f（0），由函數(shù)y=f（x）單調(diào)，
得到ax-y+2=0，即集合B是直線ax-y+2=0上的點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成的集合，
根據(jù)題意畫(huà)出圖象，如圖所示：

由A∩B=∅，所以圓與直線沒(méi)有交點(diǎn)，特殊情況為直線ax-y+2=0與圓x²+y²=0相切，
圓心到直線的距離d=

2

a2+1

=1，解得a=

3

或-

3

，
則滿足題意的a的取值范圍是：-

3

≤a≤

3

．
故答案為：-

3

≤a≤

3

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題．