Question

1．定義在區(qū)間[x₁，x₂]長度為x₂-x₁（x₂＞x₁），已知函數(shù)f（x）=$\frac{（{a}^{2}+a）x-2}{{a}^{2}x}$（a∈R，a≠0）的定義域與值域都是[m，n]，則區(qū)間[m，n]取最長長度時(shí)a的值是7．

Answer 1

分析 根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)定義域與值域都是[m，n]，得到$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，轉(zhuǎn)化為f（x）=x，有兩個(gè)同號的相異實(shí)數(shù)根，利用一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．
x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函數(shù)f（x）=$\frac{a+1}{a}$-$\frac{2}{{a}^{2}x}$在[m，n]上單調(diào)遞增，則$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，
故m，n是方程f（x）=$\frac{a+1}{a}$-$\frac{2}{{a}^{2}x}$=x的同號的相異實(shí)數(shù)根，
即a²x²-（a²+a）x+2=0的同號的相異實(shí)數(shù)根
∵mn=$\frac{2}{{a}^{2}}$，m+n=$\frac{{a}^{2}+a}{{a}^{2}}$=$\frac{a+1}{a}$
∴m，n同號，只需△=（a²+a）²-8a²=a²•[（a+1）²-8]＞0，
即（a+1）²-8＞0
∴a＞2$\sqrt{2}$-1或a＜-2$\sqrt{2}$-1，
n-m=$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=$\sqrt{（\frac{a+1}{a}）^{2}-\frac{8}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{7}{{a}^{2}}+\frac{2}{a}+1}$=$\sqrt{-7（\frac{1}{a}-\frac{1}{7}）^{2}+\frac{10}{7}}$，
n-m取最大值為$\sqrt{\frac{10}{7}}$．此時(shí)$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{7}$，即a=7，
故答案為：7

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．