Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（-c，0）（c＞0）作圓x²+y²=

a2

4

的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若|

OF

|=|

OP

|，則雙曲線的離心率（　�。�

• A、

  10

  2

• B、

  10

  5

• C、

  10

• D、

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，連結(jié)PF′，OE，由已知條件，利用雙曲線的性質(zhì)，推導(dǎo)出|PF|a，|PF|=3a，PF⊥PF′，由此能求出雙曲線的離心率．

解答： 解：設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，右焦點為F′，
連結(jié)PF′，OE，
∵過左焦點F（-c，0）（c＞0）作圓x²+y²=

a2

4

的切線，切點為E，
∴OE⊥PF，
又∵|OF|=|OP|，∴E為PF的中點，∴OE∥PF′，
∴|PF|=2|OE|=2×

a

2

=a，
由雙曲線定義知|PF|-|PF′|=2a，
∴|PF|=|PF′|+2a=3a，
∵OE∥PF′，∴PF⊥PF′，
在Rt△PFF′中，（3a）²+a²=（2c）²，
解得c=

10

2

a，
∴e=

c

a

=

10

2

．
故選：A．

點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，要熟練掌握雙曲線的簡單性質(zhì)．