Question

20．為了解人們對城市治安狀況的滿意度，某部門對城市部分居民的“安全感”進行調查，在調查過程中讓每個居民客觀地對自己目前生活城市的安全感進行評分，并把所得分作為“安全感指數”，即用區(qū)間[0，100]內的一個數來表示，該數越接近100表示安全感越高．現隨機對該地區(qū)的男、女居民各500人進行了調查，調查數據如表所示：

安全感指數	[0，20）	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100]
男居民人數	8	16	226	131	119
女居民人數	12	14	174	122	178

根據表格，解答下面的問題：
（Ⅰ）估算該地區(qū)居民安全感指數的平均值；
（Ⅱ）如果居民安全感指數不小于60，則認為其安全感好．為了進一步了解居民的安全感，調查組又在該地區(qū)隨機抽取3對夫妻進行調查，用X表示他們之中安全感好的夫妻（夫妻二人都感到安全）的對數，求X的分布列及期望（以樣本的頻率作為總體的概率）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意，計算該地區(qū)居民安全感指數的平均值即可；
（Ⅱ）計算男、女居民安全感好的概率，由此求出一對夫妻都安全感好的概率；
得出X的可能取值，求出對應概率值，寫出分布列，計算數學期望．

解答 解：（Ⅰ）根據題意，計算該地區(qū)居民安全感指數的平均值為
10×0.02+30×0.03+50×0.4+70×0.253+90×0.297=65.54；…（5分）
（Ⅱ）男居民安全感好的概率為$\frac{131+119}{500}=0.5$，
女居民安全感好的概率為$\frac{122+178}{500}=0.6$，
故一對夫妻都安全感好的概率為0.5×0.6=0.3；…（7分）
因此X的可能取值為0，1，2，3，
且X～B（3，0.3）；
于是$P（x=k）=C_3^k×{0.3^k}×{（1-0.7）^{3-k}}（k=0，1，2，3）$；…（9分）
X的分布列為

X	0	1	2	3
p	0.343	0.441	0.189	0.027

…（11分）
∴數學期望為E（X）=np=3×0.3=0.9．…（12分）

點評 本題考查了古典概型的概率計算問題，也考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是中檔題．