Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x²，若對任意的x∈[t，t+3]，不等式f（x+t）≥3f（x）恒成立，則實數t的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   [3，+∞）
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：由當x≥0時，f（x）=x²，函數是奇函數，可得當x＜0時，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調遞增函數，且滿足3f（x）=f（ x），再根據不等式f（x+t）≥3f（x）=f（x）在[t，t+3]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+3]恒成立，即可得出答案．
解答：當x≥0時，f（x）=x²
∵函數是奇函數∴當x＜0時，f（x）=-x²
∴f（x）=，
∴f（x）在R上是單調遞增函數，且滿足3f（x）=f（ x），
∵不等式ff（x+t）≥3f（x）=f（x）在[t，t+3]恒成立，
∴x+t≥x在[t，t+3]恒成立，即：t在[t，t+3]恒成立，
∴，∴
故選A．
點評：本題考查了函數恒成立問題及函數的奇偶性，難度適中，關鍵是掌握函數的單調性與奇偶性．