Question

某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是

1

3

，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min．
（Ⅰ）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；
（Ⅱ）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，所以這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈是相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，根據(jù)公式得到結(jié)果．
（2）由題意知變量的可能取值，根據(jù)所給的條件可知本題符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到變量的分布列，算出期望．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A，
∵事件A等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，
∴事件A的概率為P(A)=(1-

1

3

)×(1-

1

3

)×

1

3

=

4

27

（Ⅱ）由題意可得ξ可能取的值為0，2，4，6，8（單位：min）
事件“ξ=2k”等價(jià)于事件“該學(xué)生在路上遇到k次紅燈”（k=0，1，2，3，4），
∴P(ξ=2k)=

C

k 4

(

1

3

)k(

2

3

)4-k(k=0，1，2，3，4)，
∴即ξ的分布列是

∴ξ的期望是Eξ=0×

16

81

+2×

32

81

+4×

8

27

+6×

8

81

+8×

1

81

=

8

3

點(diǎn)評(píng)：考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，相互獨(dú)立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，而對(duì)立事件是指同一次試驗(yàn)中，不會(huì)同時(shí)發(fā)生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時(shí)，往往先求它的對(duì)立事件的概率．