已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過點F1作傾斜角為60° 的直線l交橢圓于A，B兩點，ABF2的內(nèi)切圓的半徑為
2
3
7
c
（I）求橢圓的離心率；   
（II）若|AB|=8
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
分析：（I）設(shè)直線l的方程為y=
3
(x+c)代入橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），利用S△ABF2=
1
2
|F1F2||y1-y2|=
1
2
 ×4a×
2
3
7
c，還等于三角形的周長乘以三角形內(nèi)切圓的半徑，由此可求出橢圓的離心率；   
（II）由知（I）知a=
2
b，c=b，|x1-x2| =
4
2
b
7
利用弦長公式|AB|，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：（I）設(shè)直線l的方程為y=
3
(x+c)
代入橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），消去y可得：（b2+3a2）x2+6a2cx+3a2c2-a2b2=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-
6a2c
3a2+b2
，x1x2=-
3a2c2-a2b2
3a2+b2

∴|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4ab2
3a2+b2

∴|y1-y2|=
3
|x1-x2|=
4
3
ab2
3a2+b2

∵S△ABF2=
1
2
|F1F2||y1-y2|=
1
2
 ×4a×
2
3
7
c
∴
4
3
ab2
3a2+b2
=
4
3
 ac
7

∴a=
2
b
∴e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
2

∴橢圓的離心率e=
2
2
；   
（II）由知（I）知a=
2
b，c=b，∴|x1-x2| =
4
2
b
7

∴|AB|=
1+3
|x1-x2| =
8
2
b
7
=8
2
，
∴b=7，a=7
2

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
98
+
y2
49
=1．
點評：本題重點考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的性質(zhì)，解題時，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的兩個焦點，P為橢圓上一點且
PF1
•
PF2
=c2，則此橢圓離心率的取值范圍是（　�。�
A、[
3
3
，1)
B、[
1
3
，
1
2
]
C、[
3
3
，
2
2
]
D、(0，
2
2
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過點F1作傾斜角為θ的動直線l交橢圓于A，B兩點．當(dāng)θ=
π
4
時，
AF1
=(2-
3
)
F1B
，且|AB|=3．
（1）求橢圓的離心率及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求△ABF2面積的最大值，并求出使面積達到最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東城區(qū)一模）已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，雙曲線C1和圓C2：x2+y2=c2的一個交點為P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，那么雙曲線C1的離心率為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0） （c＞0）是橢圓的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，圓M的方程是(x-
5
4
c)2+y2=
9c2
16
．
（1）若P是圓M上的任意一點，求證：
|PF1|
|PF2|
是定值；
（2）若橢圓經(jīng)過圓上一點Q，且cos∠F1QF2=
3
5
，求橢圓的離心率；
（3）在（2）的條件下，若|OQ|=
34
2
，求橢圓的方程．

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