(2011•延慶縣一模)已知函數(shù) f(x)=ax(x-2)2-a+1
,&(x∈R)

(Ⅰ)若a≠0,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)有極大值
14
9
,求實數(shù)a的值.
分析:(Ⅰ)求導函數(shù)得:f′(x)=a(x-2)2+2ax(x-2)=a(3x-2)(x-2),f′(x)=a(3x-2)(x-2)>0得單調增區(qū)間,f′(x)=a(3x-2)(x-2)<0得單調減區(qū)間,需對a進行討論;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當a>0時,f(
2
3
)=
14
9
;當a<0時,f(2)=
14
9
,故可得解.
解答:解:(Ⅰ)求導函數(shù)得:f′(x)=a(x-2)2+2ax(x-2)=a(3x-2)(x-2)
當a>0時,f′(x)=a(3x-2)(x-2)>0,
∴函數(shù)的單調增區(qū)間為(-∞,
2
3
),(2,+∞)

f′(x)=a(3x-2)(x-2)<0,
∴函數(shù)的單調減區(qū)間為(
2
3
,2)

當a<0時,f′(x)=a(3x-2)(x-2)>0,
∴函數(shù)的單調增區(qū)間為(
2
3
,2)
,
f′(x)=a(3x-2)(x-2)<0,
∴函數(shù)的單調減區(qū)間為(-∞,
2
3
),(2,+∞)
,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當a>0時,函數(shù)在x=
2
3
時,取得極大值,所以f(
2
3
)=
14
9
,
2
3
16
9
-a+1=
14
9
,
∴a=3
當a<0時,函數(shù)在x=2時,取得極大值,
所以f(2)=
14
9
,
-a+1=
14
9
,
∴a=-
5
9
點評:本題以函數(shù)為載體,考查函數(shù)在某點取得極值的條件、考查學生會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調區(qū)間,屬于基礎題.
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