已知函數(shù)f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在x=0，x=4處取得極值．
（1）求常數(shù)k的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
分析：（1）因為函數(shù)兩個極值點已知，令f′（x）=3kx2+6（k-1）x=0，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函數(shù)的導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，f′（x）=3kx2+6（k-1）x=x2-4x=x（x-4）大于零和小于零分別求出遞增和遞減區(qū)間即可；把函數(shù)導數(shù)為0點代到f（x）中，判斷極大極小值即可．
解答：解：（1）f'（x）=3kx2+6（k-1）x，由于在x=0，x=4處取得極值，
∴f'（0）=0，f'（4）=0，可求得k=
1
3
．                         …（2分）
（2）由（1）可知f(x)=
1
3
x3-2x2+
8
9
，
f'（x）=x2-4x=x（x-4），
f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：
x （-∞，0） 0 （0，4） 4 （4，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 增 極大值 減 極小值 增
∴當x＜0或x＞4，f（x）為增函數(shù)，0≤x≤4，f（x）為減函數(shù)；        …（2分）
∴極大值為f(0)=
8
9
，極小值為f(4)=-
88
9
．…（2分）
點評：考查函數(shù)在某點取得極值的條件、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設(shè)t=logax+logxa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實數(shù)b的取值范圍．．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=k•a-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）．
（1）求實數(shù)k，a的值；
（2）若函數(shù)g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，試判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•蕪湖二模）給出以下五個命題：
①命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函數(shù)f（x）=k•cosx的圖象經(jīng)過點P（
π
3
，1），則函數(shù)圖象上過點P的切線斜率等于-
3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直的充要條件．
④函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間（0，1）上存在零點．
⑤已知向量
a
=(1，-2)與向量
b
=(1，m)的夾角為銳角，那么實數(shù)m的取值范圍是（-∞，
1
2
）
其中正確命題的序號是
②③④
②③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（已知函數(shù)f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設(shè)t=logax+logxa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，試將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實數(shù)b的取值范圍．．

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