Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a為正實(shí)數(shù)，an+1=an-

1

an

(n∈N*)．
（1）若a₃＞0，求a的取值范圍；
（2）求證：不存在a，使a_na_n+1＞0對(duì)任意n∈N^*恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由遞推式結(jié)合a₁=a求得a₃，再由a＞0及a₃＞0聯(lián)立不等式組求解a的取值范圍；
（2）結(jié)合數(shù)列遞推式把a(bǔ)_na_n+1＞0對(duì)任意n∈N^*恒成立轉(zhuǎn)化為an4-3an2+1＞0恒成立．而此不等式所對(duì)應(yīng)的
關(guān)于an2的二次方程的判別式大于0，從而說(shuō)明不存在a，使a_na_n+1＞0對(duì)任意n∈N^*恒成立．

解答： （1）解：由a₁=a，an+1=an-

1

an

(n∈N*)，得
a2=a1-

1

a1

=a-

1

a

．
a3=a2-

1

a2

=a-

1

a

-

1

a- 1 a

=

a4-3a2+1

a(a2-1)

．
由

a＞0 a4-3a2+1 a(a2-1) ＞0

，解得：a＞

5

2

+

1

2

或

5

2

-

1

2

＜a＜1．
∴a的取值范圍是a＞

5

2

+

1

2

或

5

2

-

1

2

＜a＜1；
（2）證明：∵an+1=an-

1

an

，
∴a_na_n+1=an(an-

1

an

)=an2-1．
要使a_na_n+1＞0，則an2-1＞0，即an2＞1．
∴an+12＞1．
而由遞推式an+1=an-

1

an

得，
an2+

1

an2

-2=an+12＞1．
也就是an4-3an2+1＞0恒成立．
而△=（-3）²-4=5＞0．
∴an4-3an2+1＞0不恒成立．
即不存在a，使a_na_n+1＞0對(duì)任意n∈N^*恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了數(shù)列遞推式，考查了不等式的解法，訓(xùn)練了存在性問(wèn)題的證明方法，是中高檔題．