Question

已知點P是⊙O：x²+y²=9上的任意一點，過P作PD垂直x軸于D，動點Q滿足．
（1）求動點Q的軌跡方程；
（2）已知點E（1，1），在動點Q的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點M、N，使（O是坐標原點），若存在，求出直線MN的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設Q（x，y），利用向量的坐標運算，結合在⊙O上即可得到點Q的軌跡方程；
（2）對于存在性問題的解決方法，可假設存在．由向量關系式得E（1，1）是線段MN的中點，利用中點坐標公式及橢圓的方程式，得到直線MN的斜率值，從而求得直線的方程．結果表明存在．
解答：解：（1）設P（x，y），Q（x，y），依題意，則點D的坐標為D（x，0）（1分）
∴（2分）
又∴（4分）
∵P在⊙O上，故x²+y²=9∴（5分）
∴點Q的軌跡方程為（6分）
（2）假設橢圓上存在兩個不重合的兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）滿足，則E（1，1）是線段MN的中點，且有
又M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在橢圓上
∴
兩式相減，得（12分）
∴∴直線MN的方程為4x+9y-13=0
將直線MN的方程代入橢圓方程檢驗得：52x²-104x-155=0則△＞0有實根
∴橢圓上存在點M、N滿足，此時直線MN的方程為4x+9y-13=0（14分）
點評：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的坐標運算、曲線方程的求法、橢圓的定義以及等價轉化能力．