Question

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c滿足a≠b，2sin（A-B）=asinA-bsinB
（Ⅰ）求邊c
（Ⅱ）若△ABC的面積為1，且tanC=2，求a+b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦定理化簡(jiǎn)已知可得：2acosB-2bcosA=a²-b²，進(jìn)而由余弦定理即可解得c的值．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，利用三角形面積公式可求ab，進(jìn)而利用余弦定理即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵2sin（A-B）=asinA-bsinB，
∴2sinAcosB-2cosAsinB=asinA-bsinB，由正弦定理可得：2acosB-2bcosA=a²-b²，
∴由余弦定理可得：2a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$-2b×$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=a²-b²，可得：$\frac{2（{a}^{2}-^{2}）}{c}$=a²-b²，
∵a≠b，∴c=2…6分
（Ⅱ）∵tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=2，sin²C+cos²C=1，
∴sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}ab×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=1，
∴ab=$\sqrt{5}$，
∵cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-4}{2ab}$，
∴a²+b²=6，（a+b）²=6+2$\sqrt{5}$，
∴a+b=1+$\sqrt{5}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．