Question

已知成等差數列．又數列a_n（a_n＞0）中a₁=3此數列的前n項的和S_n（n∈N₊）對所有大于1的正整數n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求數列a_n的第n+1項；
（2）若是的等比中項，且T_n為{b_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）有成等差數列，利用等差數列定義得到f（x）的函數解析式，再利用S_n=f（S_n-1）得到數列a_n的關于前n項和式子，在有前n項和求出數列的第n+1項；
（2）由于是的等比中項，所以可以利用等比中項的定義得到數列b_n的通項公式，在利用裂項相消法可以求{b_n}的前n項和T_n．
解答：解：（1）∵成等差數列，
∴∴∵S_n=f（S_n-1）（n≥2），∴
∴  
∴{}是以為公差的等差數列．
∵a₁=3∴S₁=3，∴，
∴S_n=3n²（n∈N⁺） 
∴a_n+1=S_n+1-S_n=3（n+1）²-3n²=6n+3；
（2）∵數列的等比中項，
∴ 
∴  
=
點評：此題考查了已知數列的前n項和求通項，等差數列的定義及等比中項，還考查了裂項相消法求數列的前n項的和．