f（x）對(duì)任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
．
（Ⅰ）求f(
1
2
)和f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∉N)的值．
（Ⅱ）數(shù)列{an}滿足：an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明；
試比較Tn與Sn的大小．
分析：（Ⅰ）由f（x）對(duì)任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
，知f(
1
2
)+f(1-
1
2
)=f(
1
2
)+f(
1
2
)=
1
2
．由此能求出f(
1
2
)和f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∉N)的值．
（Ⅱ）an=f(0)+f(
1
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)又an=f(1)+f(
n-1
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)兩式相加2an=[f(0)+f(1)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+…+[f(1)+f(0)]=
n+1
2
．由此知數(shù)列{an}是等差數(shù)列．bn=
4
4an-1
=
4
n
，Tn=
b
2
1
+
b
2
2
+…+
b
2
n
=16(1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)≤16[1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n-1)
]=Sn．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）對(duì)任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
，
∴f(
1
2
)+f(1-
1
2
)=f(
1
2
)+f(
1
2
)=
1
2
．
所以f(
1
2
)=
1
4
．
令x=
1
n
，
得f(
1
n
)+f(1-
1
n
)=
1
2
，
即f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=
1
2
．
（Ⅱ）an=f(0)+f(
1
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)
又an=f(1)+f(
n-1
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)
兩式相加2an=[f(0)+f(1)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+…+[f(1)+f(0)]=
n+1
2
．
所以an=
n+1
4
，n∈N，
又an+1-an=
n+1+1
4
-
n+1
4
=
1
4
．
故數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
bn=
4
4an-1
=
4
n
，
Tn=
b
2
1
+
b
2
2
+…+
b
2
n

=16(1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)
≤16[1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n-1)
]
=16[1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)]
=16(2-
1
n
)=32-
16
n
=Sn
所以Tn≤Sn．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（x+2）=
1-f(x)
1+f(x)
，f（2）=
1
4
，則f（2010）等于（　　）
A、
1
4
B、
1
2
C、
1
3
D、
3
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)偶函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（x+3）=-
1
f(x)
，且當(dāng)x∈[-3，-2]時(shí)，f（x）=4x，則f（107.5）=（　�。�
A、10
B、
1
10
C、-10
D、-
1
10

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x≠0時(shí)，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）試問(wèn)：在-2≤x≤2時(shí)，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．
（3）解關(guān)于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)偶函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f(x+3)=-
1
f(x)
，且當(dāng)x∈[-3，-2]時(shí)，f（x）=2x，則f（2009.5）=
1
5
1
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•廣東模擬）設(shè)奇函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+
1
2
．
（1）求f(
1
2
)和f(
k
n
)+f(
n-k
n
)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）數(shù)列{an}滿足：an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)-f(
1
2
)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明；
（3）設(shè)m與k為兩個(gè)給定的不同的正整數(shù)，{an}是滿足（2）中條件的數(shù)列，
證明：
s
n=1
|
(m+1)nan+1
-
(kn+n+k+1)an
|＜(
s+1
2
)2|
m
-
k
|（s=1，2，…）．

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