Question

已知

a

=(1-cosx，2sin

x

2

)，

b

=(1+cosx，2cos

x

2

)
（1）若f(x)=2+sinx-

1

4

|

a

-

b

|²，求f（x）的表達式．
（2）若函數f（x）和函數g（x）的圖象關于原點對稱，求g（x）的解析式．
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

解（1）：f(x)=2+sinx-

1

4

[4cos2x+4(sin

x

2

-cos

x

2

)2]，
=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx
（2）：設函數y=f（x）的圖象上任一點M（x₀，y₀）
關于原點的對稱點為N（x，y）
則x₀=-x，y₀=-y，
∵點M在函數y=f（x）的圖象上
∴-y=sin²（-x）+2sin（-x），即y=-sin²x+2sinx
∴函數g（x）的解析式為g（x）=-sin²x+2sinx
（3）∵h（x）=-（1+λ）sin²x+2（1-λ）sinx+1，
設sinx=t，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]
∴-1≤t≤1，
則有h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）．
①當λ=-1時，h（t）=4t+1在[-1，1]上是增函數，∴λ=-1，
②當λ≠-1時，對稱軸方程為直線t=

1-λ

1+λ

�。� λ＜-1時，

1-λ

1+λ

≤-1，解得λ＜-1
ⅱ）當λ＞-1時，

1-λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0綜上，λ≤0．