Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值；
（2）令，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點，且，又是的導(dǎo)函數(shù)．若正常數(shù)滿足條件，證明：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析．

試題分析：（1）當(dāng)時，，求其在上的最大值，先要求出其導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后就可求出函數(shù)的最大值；（2）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，而函數(shù)在在區(qū)間又是不間斷的，則區(qū)間上有根且無重根，問題就轉(zhuǎn)化為方程有解的問題，分離參數(shù)后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，這是我們所熟悉的問題；（3）根據(jù)有兩個實根，可得關(guān)于的兩個等式，從而消去，再將適當(dāng)放縮后構(gòu)造函數(shù)，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的最值從而證明不等式.
試題解析：（1）                                   2分
函數(shù)在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，
所以．                                     4分
（2）因為，所以，                  5分
因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以在（0，3）上有實數(shù)解，且無重根，
由，有=，（）            6分
又當(dāng)時，有重根，                              7分
綜上                                                          8分
（3）∵，又有兩個實根，
∴，兩式相減，得，
∴,                                          10分
于是
．                            11分
．
要證：，只需證：
只需證：．(*)                                        12分
令，∴(*)化為 ，只證即可．  13分
，14分
在（0，1）上單調(diào)遞增，      15分
，即．∴．  16分