Question

已知橢圓的上下焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓方程；
（2）已知直線l的方向向量為（1，），若直線l與橢圓交于P、Q兩點，O為坐標原點，求△OPQ面積的最大值．
（3）過點T（1，0）作直線l與橢圓交于M、N兩點，與y軸交于點R，若．證明：λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形的性質、橢圓的性質及參數(shù)a、b、c的關系即可得出；
（2）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系、弦長公式、點到直線的距離公式即可得出；
（3）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系、向量相等即可證明．
解答：解：（1）由題意可得：
a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2，
∴橢圓方程為．
（2）∵直線l的方向向量為（1，），
∴可設直線l的方程為，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入橢圓方程并化簡得，
由△=8m²-16（m²-4）＞0，可得m²＜8．（*）
∴，．
∴|PQ|==．
又點O到PQ的距離為，
∴，
當且僅當2m²=16-2m²，即m=±2時取等號，且滿足（*）式．
所以△OPQ面積的最大值為．
（3）依題意知，直線l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=k（x-1）
設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），R（0，y₅）
則M、N滿足消去y化為（2+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
易知△＞0，∴，．
∵，∴（x₃，y₃-y₅）=λ（1-x₃，y₃），
∵x₃≠1，∴，
同理．
∴λ+μ═==-4．
∴λ+μ為定值-4．
點評：熟練掌握正方形的性質、橢圓的標準方程及性質、直線與橢圓的相交問題、根與系數(shù)的關系、弦長公式、點到直線的距離公式、向量相等是解題的關鍵．