Question

已知過函數(shù)f（x）=x³+ax²+1的圖象上一點B（1，b）的切線的斜率為-3．
（1）求a，b的值；
（2）求A的取值范圍，使不等式f（x）≤A-1992對于x∈[-1，4]恒成立；
（3）令g（x）=-f（x）-3x²+tx+1．是否存在一個實數(shù)t，使得當x∈（0，1]時，g（x） 有最大值1？

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²+2ax，
∵過函數(shù)f（x）=x³+ax²+1的圖象上一點B（1，b）的切線的斜率為-3
∴f′（1）=-3，
∴a=-3，
將（1，b）代入函數(shù)f（x）=x³-3x²+1，可得b=-1
（2）令h（x）=f（x）+1992，則使不等式f（x）≤A-1992對于x∈[-1，4]恒成立
問題轉(zhuǎn)化為h（x）≤A對于x∈[-1，4]恒成立，從而求h（x）在[-1，4]上的最大值即可．
求導數(shù)h′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
則函數(shù)在（-1，0），（2，4）上，h′（x）＞0，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，
在（0，2）上，h′（x）＜0，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)
∵h（-1）=1987，h（0）=1993，h（4）=2009
∴函數(shù)在x=4處取得最大值2009．
故A≥2009
（3）∵g（x）=-f（x）-3x²+tx+1=-x³+tx，∴g′（x）=-3x²+t
當t≤0時，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)在x∈（0，1]無最大值；
當t∈（0，3）時，函數(shù)在x∈（0，1]上先增后減，，此時符合題意
當t≥3時，函數(shù)在x∈（0，1]上單調(diào)遞增，∴g_max（x）=g（1）=1，
∵g（x）=-f（x）-3x²+tx+1=-x³+tx，∴t-1=1，
∴t=2，不滿足t≥3，舍去
故
分析：（1）先求導函數(shù)，利用過函數(shù)f（x）=x³+ax²+1的圖象上一點B（1，b）的切線的斜率為-3，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可得f′（1）=-3，從而可求a，b的值；
（2）令g（x）=f（x）+1992，則問題轉(zhuǎn)化為求g（x）在[-1，4]上的最大值．
（3）先求導函數(shù)g′（x）=-3x²+t，根據(jù)t的取值不同，函數(shù)的單調(diào)性有所不同，故需進行分類討論，從而得解．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最值．