Question

下列幾個(gè)命題，正確的有

①

．（填序號(hào)）
①方程x²+（a-3）x+a=0有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，則a＜0；
②若冪函數(shù)y=xm2+2m-3的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，則m的取值范圍為（-3，1）
③若f（x+1）為偶函數(shù)，則有f（x+1）=f（-x-1）；
④函數(shù)y=f（2^x）的定義域?yàn)閇1，2]，則函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇0，1]．

Answer 1

分析：根據(jù)韋達(dá)定理及一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系，可以判斷①的真假；根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以判斷②的真假；根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)解析式與對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系，可以判斷③的真假；根據(jù)復(fù)數(shù)函數(shù)定義域的求法，根據(jù)已知求出函數(shù)y=f（x）的定義域，即可得到答案．

解答：解：若方程x²+（a-3）x+a=0有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，則△＞0，且x₁•x₂=a＜0，解得a＜0，故①正確；
若冪函數(shù)y=xm2+2m-3的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，則m²+2m-3≤0，解得m的取值范圍為[-3，1]；
若f（x+1）為偶函數(shù)，則表示函數(shù)若f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，而f（x+1）=f（-x-1）表示f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0（y軸）對(duì)稱(chēng)，故③錯(cuò)誤；
若函數(shù)y=f（2^x）的定義域?yàn)閇1，2]，則函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇2，4]，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，冪函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)鍵，熟練掌握函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，掌握初等基本函數(shù)的性質(zhì)是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．