Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值；
（3）在滿足條件（2）的情形下，設c_n=4a_n+1，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，若不等式對任意的n∈N^*恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當n=1時，S₁=a（S₁-a₁+1），得a₁=1．當n≥2時，由（1-a）S_n=-aa_n+a，得，（1-a）S_n-1=-aa_n-1+a．故a_n=aa_n-1，由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）由，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，則有，而，故[a³（2a+1）]²=（2a²）•a⁴（2a²+a+1），由此能求出a的值．
（3）由，知，故，所以，由不等式恒成立，得恒成立，由此能求出實數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（1）當n=1時，S₁=a（S₁-a₁+1），得a₁=1．
當n≥2時，由S_n=a（S_n-a_n+1），
即（1-a）S_n=-aa_n+a，①
得，（1-a）S_n-1=-aa_n-1+a，②
①-②，得（1-a）a_n=-aa_n+aa_n-1，
即a_n=aa_n-1，
∴，
∴{a_n}是等比數(shù)列，且公比是a，
∴．
（2）由（1）知，，
即，
若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
則有，
而，
故[a³（2a+1）]²=（2a²）•a⁴（2a²+a+1），
解得，
再將代入b_n，得，
由，知{b_n}為等比數(shù)列，
∴．
（3）由，知，
∴，
∴，
由不等式恒成立，
得恒成立，
設，由，
∴當n≤4時，d_n+1＞d_n，當n≥4時，d_n+1＜d_n，
而，
∴d₄＜d₅，
∴，
∴．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．