Question

8．威遠中學舉行中學生“珍愛地球•保護家園”的環(huán)保知識比賽，比賽分為初賽和復(fù)賽兩部分，初賽采用選手從備選題中選一題答一題的方式進行；每位選手最多有5次答題機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止比賽，答對3題者直接進入復(fù)賽，答錯3題者則被淘汰．已知選手甲答對每個題的概率均為$\frac{3}{4}$，且相互間沒有影響．
（Ⅰ）求選手甲進入復(fù)賽的概率；
（Ⅱ）設(shè)選手甲在初賽中答題的個數(shù)為X，試求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“選手甲進入復(fù)賽”為事件A，分別求出選手甲答了3題都對進入復(fù)賽概率、選手甲答了4個題，前3個2對1錯進入復(fù)賽的概率和選手甲答了5個題，前4個2對2錯進入復(fù)賽的概率，由此能求出選手甲進入復(fù)賽的概率．
（Ⅱ）X的可能取值為3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“選手甲進入復(fù)賽”為事件A，
則選手甲答了3題都對進入復(fù)賽概率為：$C_3^3{（\frac{3}{4}）^3}=\frac{27}{64}$；
或選手甲答了4個題，前3個2對1錯進入復(fù)賽概率為：$C_3^2{（\frac{3}{4}）^2}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{81}{256}$，
或選手甲答了5個題，前4個2對2錯進入復(fù)賽概率為：$C_4^2{（\frac{3}{4}）^2}•{（\frac{1}{4}）^2}×\frac{3}{4}=\frac{81}{512}$，
∴選手甲進入復(fù)賽的概率$P（A）=\frac{27}{64}+\frac{81}{256}+\frac{81}{512}=\frac{459}{512}$．…（4分）
（Ⅱ）X的可能取值為3，4，5，對應(yīng)X的每個取值，選手甲被淘汰或進入復(fù)賽的概率，
$P（X=3）=C_3^3{（\frac{3}{4}）^3}+C_3^3{（\frac{1}{4}）^3}=\frac{7}{16}$…（6分）
$P（X=4）=C_3^2{（\frac{3}{4}）^2}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}+C_3^2{（\frac{1}{4}）^2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{45}{128}$…（8分）
$P（X=5）=C_4^2{（\frac{3}{4}）^2}×{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{27}{128}$，
X的分布列為：

X	3	4	5
P（X）	$\frac{7}{16}$	$\frac{45}{128}$	$\frac{27}{128}$

…（10分）
∴$EX=3×\frac{7}{16}+4×\frac{45}{128}+5×\frac{27}{128}=\frac{483}{128}$…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．