Question

（2013•大連一模）下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A．?x∈（0，π），均有sinx＞cosx
• B．命題“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x²+x+1＜0”
• C．“a=0”是“函數(shù)f（x）=x³+ax²+x為奇函數(shù)”的充要條件
• D．?x∈R，使得sinx+cosx=

  5

  3

  成立

Answer 1

分析：選項(xiàng)A，可舉x=

π

6

說(shuō)明錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，正確的應(yīng)為“?x∈R，均有x²+x+1≥0”；選項(xiàng)C，可由奇函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明正確；選項(xiàng)D，由三角函數(shù)的知識(shí)可得sinx+cosx的值域?yàn)閇-

2

，

2

]，因?yàn)?span id="24uctsr" class="MathJye">

5

3

∉[-

2

，

2

]，故錯(cuò)誤．

解答：解：選項(xiàng)A，當(dāng)x=

π

6

時(shí)，sin

π

6

=

1

2

，cos

π

6

=

3

2

，顯然有x∈（0，π），但sinx＜cosx，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，命題“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定應(yīng)該為：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)f（x）=x³+x顯然為奇函數(shù)，當(dāng)f（x）=x³+ax²+x為奇函數(shù)時(shí)，由f（0）=0可得a=0，
故“a=0”是“函數(shù)f（x）=x³+ax²+x為奇函數(shù)”的充要條件，故C正確；
選項(xiàng)D，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，因?yàn)?span id="tkz24w3" class="MathJye">

5

3

∉[-

2

，

2

]，
故不存在x∈R，使sinx+cosx=

5

3

，故D錯(cuò)誤．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)的性質(zhì)以及特稱(chēng)命題的否定，屬基礎(chǔ)題．