已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，p，q，r為非零自然數(shù)．
證明：（1）若p+q=2r，則
1
a
2
p
+
1
a
2
q
≥
2
a
2
r
；
（2）
1
a
2
1
+
1
a
2
2
+…+
1
a
2
2n-2
+
1
a
2
2n-1
≥
2n-1
a
2
n
(n＞1)．
分析：（1）設(shè){an}的公差為d，由p+q=2r，ap+aq=2ar，知
a
2
p
+
a
2
q
≥
1
2
(ap+aq)2=2
a
2
r
．由此能夠證明
1
a
2
p
+
1
a
2
q
≥
2
a
2
r
．
（2）由
1
a
2
i
+
1
a
2
2n-i
≥
2
a
2
n
(i=1，2，3…2n-1)，知
2n-1
i=1
(
1
a
2
i
+
1
a
2
2n-i
)≥
2
a
2
n
(2n-1)．
解答：解：（1）設(shè){an}的公差為d，
由p+q=2r，
ap+aq=2ar
∴
a
2
p
+
a
2
q
≥
1
2
(ap+aq)2=2
a
2
r

又(apaq)2≤[(
ap+aq
2
)2]2=
a
4
r

∴
1
a
2
p
+
1
a
2
q
≥
2
a
2
r
a
4
r
=
2
a
2
r
且d=0時(shí)，“=”成立
（2）由（1）知：
1
a
2
i
+
1
a
2
2n-i
≥
2
a
2
n
(i=1，2，3…2n-1)
∴
2n-1
i=1
(
1
a
2
i
+
1
a
2
2n-i
)≥
2
a
2
n
(2n-1)
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a1=3，且滿足lgan=lgan-1+lgc，其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n和Sn；
（2）求
lim
n→∞
2n-1-an
2n+an+1
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•石景山區(qū)一模）已知數(shù)列{an}是由正整數(shù)組成的數(shù)列，a1=4，且滿足lgan=lgan-1+lgb，其中b＞3，n≥2，且n∈N*，則an=
4bn-1
4bn-1
，
lim
n→∞
3n-1-an
3n-1+an
=
-1
-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，并且a3=5，a4S2=28．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)•
1
2n+1
≥
2
3
3
對(duì)一切n∈N均成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．
（1）當(dāng)首項(xiàng)a1=2，公比q=
1
2
時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)k都有
Sk+1-c
Sk-c
＜2（0＜c＜2）成立，求c的取值范圍；
（2）判斷SnSn+2-
S
2
n+1
(n∈N*)的符號(hào)，并加以證明；
（3）是否存在正常數(shù)m及自然數(shù)n，使得lg（Sn-m）+lg（Sn+2-m）=2lg（Sn+1-m）成立？若存在，請(qǐng)求出相應(yīng)的m，n；若不存在，說明理由．

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