Question

（本小題滿分12分）如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．

   （Ⅰ）點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系,并說明理由；

   （Ⅱ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF；

   （Ⅲ）當BE等于何值時，二面角P-DE-A的大小為45°．

Answer 1

思路點撥：本題是一個開放型問題，考查了線面平行、線面垂直、二面角等知識，考查了同學們解決空間問題的能力。

   （Ⅰ）利用三角形的中位線及線面平行的判定定理解決；

   （Ⅱ）通過證明即可解決；

   （Ⅲ）作出二面角的平面角，設出BE的長度，然后在直角三角形DCE 中列方程求解BE的長度。本題也可利用向量法解決。

解: 解法一:（Ⅰ）當點為的中點時，與平面平行．-------1分

∵在中，、分別為、的中點，∴∥   又平面，

而平面       ∴∥平面．              ………4分

（Ⅱ）證明:,

，又,

又，∴． ---------------------------------6分

又,點是的中點,

,．

．………8分

（Ⅲ）過作于，連，

又∵，則平面,

則是二面角的平面角，

∴，………10分

∵與平面所成角是，∴，

∴，．

∴，，設，則，，

在中，，

得．                ………12分

解法二:（向量法）（Ⅰ）同解法一………………4分

（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標系，則，

，，．

設，則

   ∴   ………8分

（Ⅲ）設平面的法向量為，由，得：，

而平面的法向量為,

∵二面角的大小是,所以=，

∴，

得 或 （舍）．  ………………12分

歸納總結：無論是線面平行（垂直）還是面面平行（垂直），都源自于線與線的平行（垂直），這種“高維”向“低維”轉化的思想方法，在解題時非常重要，在處理實際問題的過程中，可以先從題設條件入手，分析已有的平行（垂直）關系，再從結論入手分析所要證明的平行（垂直）關系，從而架起已知與未知之間的橋梁。  而空間向量是解答立體幾何問題的有利工具，它有著快捷有效的特征，是近幾年高考中一直考查的重點內容。