Question

如圖，已知橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心M（0，r）（b＞r＞0
（Ⅰ）寫出橢圓方程并求出焦點坐標和離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線y=k₁x與橢圓交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0），直線y=k₂x與橢圓次于G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．求證：；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，設(shè)CH交x軸于P點，GD交x軸于Q點，求證：|OP|=|OQ|
（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心M（0，r），即可得橢圓方程，從而可得焦點坐標與離心率；
（Ⅱ）將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程，利用韋達定理，可得；將直線GH的方程y=k₂x代入橢圓方程，同理可得，由此可得結(jié)論；
（Ⅲ）設(shè)點P（p，0），點Q（q，0），由C、P、H共線，得；由D、Q、G共線，可得  
，由此可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：∵橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心M（0，r），
∴橢圓方程為
焦點坐標為，
離心率
（Ⅱ）證明：將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程，得
整理得
根據(jù)韋達定理，得，，
所以  ①
將直線GH的方程y=k₂x代入橢圓方程，同理可得②
由 ①、②得   =
所以結(jié)論成立
（Ⅲ）證明：設(shè)點P（p，0），點Q（q，0）
由C、P、H共線，得   
解得   
由D、Q、G共線，同理可得   
∴
由=變形得=
所以|p|=|q|
即|OP|=|OQ|
點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查不等式的證明，認真審題，細心計算是關(guān)鍵．