已知a∈R，函數(shù)數(shù)學公式（其中e為自然對數(shù)的底）．
（1）當a＞0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（2）是否存在實數(shù)x0∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x0處的切線與y軸垂直？若存在求出x0的值，若不存在，請說明理由．

解：（1）∵∴f′（x）==，令f′（x）=0得，x=a，
①若0＜a＜e，當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，當x∈（a，e）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，e）上單調(diào)遞增，
所以當x=a時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上取得最小值lna．
②若a≥e，則f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，所以當x=e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上取得最小值．；
綜上所述，當0＜a＜e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上取得最小值lna，當a≥e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上取得最小值．；
（2）不存在．證明如下
，x∈（0，e]，
∴g′（x）=•ex+（lnx-1）ex+1=（+lnx-1）ex+1
由（1）知，當a=1時，，此時f（x）在區(qū)間（0，e]上取得最小值ln1=0，即，而ex＞0，所以g′（x）≥1＞0，
又曲線y=g（x）在點x=x0處的切線與y軸垂直，等價于g′（x0）=0有實數(shù)根，而g′（x）＞0，所以方程g′（x0）=0無實數(shù)根，
故不存在實數(shù)x0∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x0處的切線與y軸垂直．
分析：（1）得出f′（x）==，利用函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系尋求f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)性，得出最小值．
（2）曲線y=g（x）在點x=x0處的切線與y軸垂直，等價于g′（x0）=0有實數(shù)根．g′（x）=•ex+（lnx-1）ex+1=（+lnx-1）ex+1其中括號內(nèi)部分正好為當a=1時，，利用（1）的結論，得出g′（x）＞0，所以方程g′（x0）=0無實數(shù)根，故不存在．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系，函數(shù)最值求解，導數(shù)的幾何意義，考查分類討論、轉(zhuǎn)化、整體代換、計算能力．是好題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+∅），（A＞0，ω＞0，0＜∅＜π），x∈R的最大值是2，最小正周期為2π，其圖象經(jīng)過點M(
π
2
，1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）已知a∈(
π
2
，π)，且f(a+
2π
3
)=-
2
3
，求tan（2π-a）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①已知
a
=(3，  4)， 
b
=(0，  1)，則
a
在
b
方向上的投影為4；
②若函數(shù)y=（a+b）cos2x+（a-b）sin2x（x∈R）的值恒等于2，則點（a，b）關于原點對稱的點的坐標是（0，-2）；
③函數(shù)f(x)=
1
lgx
在（0，+∞）上是減函數(shù)；
④已知函數(shù)f（x）=ax2+（b+c）x+1（a≠0）是偶函數(shù)，其定義域為[a-c，b]，則點（a，b）的軌跡是直線；
⑤P是△ABC邊BC的中線AD上異于A、D的動點，AD=3，則
PA
•(
PB
+
PC
)的取值范圍是[-
9
2
，  0)．
其中所有正確命題的序號是
①③④⑤
①③④⑤
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根，函數(shù)f(x)=
2x-k
x2+1
的定義域為[a，b]．
（1）當k=0時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）證明：函數(shù)f（x）在其定義域[a，b]上是增函數(shù)；
（3）在（1）的條件下，設函數(shù)g(x)=x3-3m2x+
3
5
 (-
1
2
≤x≤
1
2
， 0＜m＜
1
2
)，若對任意的x1∈[-
1
2
，
1
2
]，總存在x2∈[-
1
2
，
1
2
]，使得f（x2）=g（x1）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，f（x）=a•ex是定義在R上的函數(shù)，函數(shù)f-1(x)=ln
x
a
(x∈(0，+∞))，并且曲線y=f（x）在其與坐標軸交點處的切線和曲線y=f-1（x）在其與坐標軸交點處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）設函數(shù)g(x)=
x-m
f-1(x)
，當x＞0且x≠1時，不等式g(x)＞
x
恒成立，求實數(shù)m的取值集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞
1
2
且a≠1．條件p：函數(shù)f（x）=log（2a-1）x在其定義域上是減函數(shù)；條件q：函數(shù)g(x)=
x+|x-a|-2
的定義域為R．如果p∨q為真，試求a的取值范圍．

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