Question

設實數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，a+b+c=0，若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩實數(shù)根，則|x₁²-x₂²|的取值范圍為（ ）
A．（0，1）
B．[0，1）
C．
D．[0，3）

Answer 1

【答案】分析：由題意可得 方程ax²+bx+c=0必然有一個實數(shù)根為1，且 a＞0，c＜0，b的符號不確定，求出的范圍，化簡要求的式子為 •|1-x₂ |，可得當=0時，要求的式子有最小值0，再由|1-x₂ |=2|1-（-）|＜3可得要求的式子小于3，從而得到|x₁²-x₂²|的取值范圍．
解答：解：由于 a＞b＞c，a+b+c=0，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩實數(shù)根，
可得方程ax²+bx+c=0必然有一個實數(shù)根為1，且 a＞0，c＜0，b的符號不確定．
故有 a+2b＞0，1＞＞-，0≤＜1．
不妨設 x₁ =1，由根與系數(shù)的關系可得 1+x₂=-，x₂=＜0，且對稱軸為 x=-∈（-，）．
由|x₁²-x₂²|=|（x₁+x₂）•（x₁-x₂）|=•|x₁-x₂|=•|1-x₂ |可得，
當=0時，|x₁²-x₂²|=•|1-x₂ |的最小值等于0．
再由|1-x₂ |=2|1-（-）|=2|（1+）|≤2+＜2+1=3，
故  •|1-x₂ |＜1×3=3．
故|x₁²-x₂²|的取值范圍為[0，3），
故選D．
點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關系，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，判斷1方程ax²+bx+c=0的根，是解題的關鍵，是屬于中檔題．