Question

己知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log_a（x+1）（其中a＞0且a≠1）
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，f（x）的值的小于0？

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，知當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-log_a（-x+1），由此能求出f（x）．
（2）要使f（x）的值的小于0，則當(dāng)a＞1時(shí)，

x＞0 loga(x+1)＜0

或

x＜0 -loga(-x+1)＜0

；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

x＞0 loga(x+1)＜0

或

x＜0 -loga(-x+1)＜0

，由此能求出結(jié)果．

解答：解：（1）因?yàn)閥=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-log_a（-x+1），
所以f（x）=

loga(x+1)，x＞0 0，x=0 -loga(-x+1)，x＜0

，
（2）要使f（x）的值的小于0，則
（i）當(dāng)a＞1時(shí)，

x＞0 loga(x+1)＜0

或

x＜0 -loga(-x+1)＜0

，
解得x＜0，即x∈（-∞，0）；
（ii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

x＞0 loga(x+1)＜0

或

x＜0 -loga(-x+1)＜0

，
解得x＞0，即x∈（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)值小于0時(shí)x的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．