Question

20．已知圓C：x²-2x+y²+4y+1=0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，4）的直線分別與圓C相切于點(diǎn)A、B，則三角形ABC的面積等于$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 圓C圓心C（1，-2），半徑r=2，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（3，4）的切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=3，把x=3代入圓C，得A（3，-2），當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（3，4）的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y=k（x-3）+4，由圓心（1，-2）到切線距離d=$\frac{|6-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，得切線方程為y=$\frac{4}{3}$（x-3）+4，把y=$\frac{4}{3}（x-3）+4$代入圓C得B（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），由此能求出三角形ABC的面積．

解答 解：圓C：x²-2x+y²+4y+1=0的圓心（1，-2），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16-4}$=2，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（3，4）的切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=3，
圓心C（1，-2）到x=3的距離為2=r，滿(mǎn)足條件，
把x=3代入圓C：x²-2x+y²+4y+1=0，得y²+4y+4=0，解得y=-2，
∴A（3，-2），
當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（3，4）的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y=k（x-3）+4，
圓心（1，-2）到切線距離d=$\frac{|k+2-3k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|6-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得k=$\frac{4}{3}$，∴切線方程為y=$\frac{4}{3}$（x-3）+4，
把y=$\frac{4}{3}（x-3）+4$代入圓C：x²-2x+y²+4y+1=0，得25x²+30x+9=0，
解得x=-$\frac{3}{5}$，y=-$\frac{4}{5}$，∴B（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{18}{5}$，$\frac{6}{5}$），$\overrightarrow{AC}$=（-2，0），
cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{\frac{36}{5}}{\frac{6\sqrt{10}}{5}×2}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
∴sin＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=$\sqrt{1-（\frac{3}{\sqrt{10}}）^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|×sin＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}＞$
=$\frac{1}{2}×\frac{6\sqrt{10}}{5}×2×\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{6}{5}$．
∴三角形ABC的面積等于$\frac{6}{5}$．
故答案為：$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、切線方程、向量知識(shí)的合理運(yùn)用．