Question

已知四棱錐中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．
（I）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（II）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，M為OC中點(diǎn)，若二面角O-PM-D的正切值為2

6

，求a：b的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)線面垂直的判定，證明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，證明平面PBD⊥平面PAC．
（II）過(guò)O作OH⊥PM交PM于H，連HD，則∠OHD為A-PM-D的平面角，利用二面角O-PM-D的正切值為2

6

，即可求a：b的值．

解答：（I）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD
又ABCD為菱形，所以AC⊥BD，
因?yàn)镻A∩AC=A，所以BD⊥平面PAC
因?yàn)锽D?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．
（II）解：過(guò)O作OH⊥PM交PM于H，連HD

因?yàn)镈O⊥平面PAC，由三垂線定理可得DH⊥PM，所以∠OHD為A-PM-D的平面角
又OD=

3

2

a，OM=

a

4

，AM=

3a

4

，且

OH

OM

=

AP

PM

從而OH=

b

b2+ 9 16 a2

•

a

4

=

ab

16b2+9a2

∴tan∠OHD=

OD

OH

=

3(16b2+9a2)

2b

=2

6

所以9a²=16b²，即

a

b

=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．