Question

已知數(shù)列{a_n}的前n和S_n滿足an+1=3Sn+1(n∈N*)且a₁=1；數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₄a_n
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）證明{b_n}為等差數(shù)列；
（3）數(shù)列{c_n}滿足c₁=1，當n≥2時有cn=

1

bnbn+1

問是否存在最小的正整數(shù)t使得c1+c2+…+cn≤

7

15

t對任意的正整數(shù)n都成立，若存在求出，若不存在說明理由？

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=3S_n+1可得當n≥2時有a_n=3S_n-1+1，兩式相減整理得

an+1

an

=4(n≥2)，結合等比數(shù)列的通項公式可求
（2）由等差數(shù)列的定義可知只要證出b_n+1-b_n為常數(shù)即可
（3）由（2）知，當n≥2時有cn=

1

bnbn+1

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)，利用裂項可求和，可求

解答：解：（1）a_n+1=3S_n+1…①
當n≥2時有a_n=3S_n-1+1…②
由①-②整理得

an+1

an

=4(n≥2)…（2分）
∵a₂=3a₁+1=4∴

a2

a1

=4
∴{a_n}是以a₁=1，公比q=4的等比數(shù)列{a_n}通項公式為an=4n-1…（4分）
（2）證明：∵bn+1-bn=log4an+1-log4an=log4

an+1

an

=1為常數(shù)
且b₁=0
∴{b_n}是以b₁=0，公比d=1為等差數(shù)列…（7分）
（3）由（2）知b_n=n-1
當n≥2時有cn=

1

bnbn+1

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)…（9分）
∴c1+c2+…+cn=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

∵2-

1

n

＜2∴

7

15

t≥2
即t≥

30

7

…（11分）
∴存在最小的正整數(shù)t=5使得c1+c2+…+cn≤

7

15

t對任意的正整數(shù)n都成立…（12分）

點評：本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式構造等比數(shù)列求解通項及等差熟練地的定義在等差數(shù)列的判斷或證明中的應用，裂項求和是求解（3）的關鍵