Question

已知a，b∈（0，+∞），求證：（a+b）（

1

a

+

1

b

）≥4．

Answer 1

分析：將不等式的左邊展開，得（a+b）（

1

a

+

1

b

）=

b

a

+

a

b

+2，結(jié)合a、b∈（0，+∞）利用基本不等式證出

b

a

+

a

b

≥2，即可證出不等式的左邊大于等于4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，即得原不等式成立．

解答：解：（a+b）（

1

a

+

1

b

）=

b

a

+

a

b

+2
∵a、b∈（0，+∞），
∴

b

a

、

a

b

均為正數(shù)，可得

b

a

+

a

b

≥2

b a × a b

=2
因此，（a+b）（

1

a

+

1

b

）=

b

a

+

a

b

+2≥2+2=4
即（a+b）（

1

a

+

1

b

）≥4
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題求證關(guān)于正數(shù)a、b的一個(gè)不等式恒成立．著重考查了分析法與綜合法、利用基本不等式進(jìn)行推理論證等知識(shí)，屬于中檔題．