【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，試證明：．

【答案】（1）在區(qū)間上為減函數(shù)；在區(qū)間上為增函數(shù)．（2）證明見解析

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，再對(duì)分成和兩種情況討論，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）將不等式等價(jià)于，再對(duì)分成和兩種情況討論.

（1）由 知：

（i）若，，∴ 在區(qū)間上為增函數(shù)．

（ii）若，

∴當(dāng)時(shí)，有，∴ 在區(qū)間上為減函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，有，∴ 在區(qū)間上為增函數(shù)．

綜上：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)；在區(qū)間上為增函數(shù)．

（2）若，則

要證，只需證，

即證：.

（i）當(dāng)時(shí)，，而

∴此時(shí)成立.

（ii）當(dāng)時(shí)，令，，

∵ ，

設(shè)，

則

，∴

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴，即

∴在單調(diào)遞增，∴

即，即，

∴

綜上：當(dāng)時(shí)，有成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．

(1) 求拋物線的方程；

(2) 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

(3) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.

證明：（1）在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn)；

（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】法國(guó)有個(gè)名人叫做布萊爾·帕斯卡，他認(rèn)識(shí)兩個(gè)賭徒，這兩個(gè)賭徒向他提出一個(gè)問題，他們說，他們下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金700法郎，賭了半天，甲贏了4局，乙贏了3局，時(shí)間很晚了，他們都不想再賭下去了.假設(shè)每局兩賭徒輸贏的概率各占，每局輸贏相互獨(dú)立，那么這700法郎如何分配比較合理（ ）

A.甲400法郎，乙300法郎B.甲500法郎，乙200法郎

C.甲525法郎，乙175法郎D.甲350法郎，乙350法郎

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)、是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，，是三個(gè)不同平面，，是兩條不同直線，有下列三個(gè)條件：（1），；（2），；（3），.如果命題“，，且__________，則”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是__________（把所有正確的序號(hào)填上）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖甲，AD，BC是等腰梯形CDEF的兩條高，，點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn)，將該等腰梯形沿著兩條高AD，BC折疊成如圖乙所示的四棱錐P-ABCD（E，F重合，記為點(diǎn)P）.

甲 乙

（1）求證：；

（2）求點(diǎn)M到平面BDP距離h.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】根據(jù)有關(guān)資料預(yù)測(cè)，某市下月1—14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)如下圖所示.，根據(jù)已知折線圖，解答下面的問題：

（1）求污染指數(shù)的眾數(shù)及前五天污染指數(shù)的平均值；（保留整數(shù)）

（2）為了更好發(fā)揮空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)服務(wù)人民的目的，監(jiān)測(cè)部門在發(fā)布空氣質(zhì)量指數(shù)的同時(shí)，也給出了出行建議，比如空氣污染指數(shù)大于150時(shí)需要戴口罩，超過200時(shí)建議減少外出活動(dòng)等等.如果某人事先沒有注意到空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)，而在1—12號(hào)這12天中隨機(jī)選定一天，欲在接下來的兩天中（不含選定當(dāng)天）進(jìn)行外出活動(dòng).求其外出活動(dòng)的兩天期間.

①恰好都遭遇重度及以上污染天氣的概率；

②至少有一天能避開重度及以上污染天氣的概率.

附：空氣質(zhì)量等級(jí)參考表：

等級(jí)

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】哈三中團(tuán)委組織了“古典詩詞”的知識(shí)競(jìng)賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生（男女各30名），將其成績(jī)分成六組，，…，，其部分頻率分布直方圖如圖所示.

（Ⅰ）求成績(jī)?cè)?/span>的頻率，補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖，并估計(jì)這次考試的眾數(shù)和中位數(shù)；

（Ⅱ）從成績(jī)?cè)?/span>和的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率；

（Ⅲ）我們規(guī)定學(xué)生成績(jī)大于等于80分時(shí)為優(yōu)秀，經(jīng)統(tǒng)計(jì)男生優(yōu)秀人數(shù)為4人，補(bǔ)全下面表格，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計(jì)

男

4

30

女

30

合計(jì)

60

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

6.635

7.879

10.828

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