Question

如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線，切點(diǎn)為A，過(guò)A點(diǎn)作直線AP垂直直線OM，垂足為P。

（Ⅰ）證明：

（Ⅱ）N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直直線ON，且交圓O于B點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)的切線交直線ON于K。證明：

Answer 1

證明：（Ⅰ）因?yàn)镸A是圓O的切線，所以O(shè)A⊥AM

又因?yàn)锳P⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，

OA²=OM?OP。

（Ⅱ）因?yàn)锽K是圓O的切線，BN⊥OK，

同（Ⅰ），有OB²=ON?OK，又OB=OA，

所以O(shè)P?OM=ON?OK，即，

又∠NOP=∠MOK，

所以△ONP∽△OMK，故∠OKM=∠OPN=90º。