Question

7．長為2$\sqrt{2}$線段EF的兩上端點E、F分別在坐標(biāo)軸x軸、y軸上滑動，設(shè)線段中點為M，線段EF在滑動過程中，點M形成軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）過點P（0，1）直線l與軌跡C交于A、B兩點．
①寫出$\frac{{|{AP}|}}{{|{PB}|}}$的取值范圍，可簡要說明理由；
②坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在異于點P的定點Q，當(dāng)l轉(zhuǎn)動時，總有$\frac{{|{QA}|}}{{|{QB}|}}=\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}$恒成立？若存在，請求出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，轉(zhuǎn)化為|OM|的距離，求解軌跡方程即可．
（2）①設(shè)直線l與軌跡C交于A、B兩點，當(dāng)直線的斜率不存在時，|AP|的最小值為：$\sqrt{2}-$1，最大值為：$\sqrt{2}+1$，|PB|的最小值為：$\sqrt{2}-$1，最大值為：$\sqrt{2}+1$，即可求出范圍，
②分直線l的斜率不存在、存在兩種情況，利用韋達定理及直線斜率計算方法，對任意直線l，均總有$\frac{{|{QA}|}}{{|{QB}|}}=\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}$恒成立，求出m的值．

解答 解：（1）長為2$\sqrt{2}$線段EF的兩上端點E、F分別在坐標(biāo)軸x軸、y軸上滑動，
設(shè)線段中點為M（x，y），可得|OM|=$\sqrt{2}$．
線段EF在滑動過程中，點M形成軌跡為C：x²+y²=2；
（2）①設(shè)直線l與軌跡C交于A、B兩點，
當(dāng)直線的斜率不存在時，|AP|的最小值為：$\sqrt{2}-$1，最大值為：$\sqrt{2}+1$，
|PB|的最小值為：$\sqrt{2}-$1，最大值為：$\sqrt{2}+1$，
可知$\frac{{|{AP}|}}{{|{PB}|}}$∈[$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$]，即：$\frac{{|{AP}|}}{{|{PB}|}}$∈[3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$]．
②當(dāng)直線的斜率存在時設(shè)為k，過點P（0，1）直線l：y=kx+1，
A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$
消去y并整理得：（1+k²）x²+2kx-1=0，
∵△=（4k）²+4（1+2k²）＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-2k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-1}{1+{k}^{2}}$，
由|QA|•|PB|=|QB|•|PA|可得$\frac{{|{QA}|}}{{|{QB}|}}=\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}$，
知QP為∠AQP的角平分線，
由對稱性易知，點Q必在y軸上，設(shè)Q（0，m），
于是有K_QA+K_QB=0，
∴$\frac{{y}_{1}-m}{{x}_{1}-0}$+$\frac{{y}_{2}-m}{{x}_{2}-m}$=0，
即（y₁-m）x₂+（y₂-m）x₁=0，且y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
∴（kx₁+1-m）x₂+（kx₂+1-m）x₁=0，
∴2kx₁x₂+（1-m）（x₁+x₂）=0，
∴2k•$\frac{-1}{1+{k}^{2}}$+$\frac{-2k}{1+{k}^{2}}$（1-m）=0，
∴$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$[-1-（1-m）]=0，對任意k∈R恒成立，
則-1-（1-m）=0，
解得m=2，
特別的，當(dāng)直線l的斜率不存在時，此時A（0，$\sqrt{2}$），B（0，-$\sqrt{2}$），Q（0.2），P（0，1）
$\frac{|QA|}{|QB|}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$，$\frac{|PA|}{|PB|}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$，
綜上，平面上存在定點Q（0，2）時，當(dāng)l轉(zhuǎn)動時，總有$\frac{{|{QA}|}}{{|{QB}|}}=\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}$恒成立

點評 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想，屬于難題．