Question

設函數f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0），若f（x）取正值的充要條件是x∈[1，+∞），則a，b滿足

1. A.
   ab＞1
2. B.
   a-b＞1
3. C.
   ab＞10
4. D.
   a-b＞10

Answer 1

B
分析：由a^x-b^x＞0，可得函數的定義域為（0，+∞），然后由定義法證函數為增函數，進而可得f（x）≥f（1），只需f（1）＞0，解之可得．
解答：由a^x-b^x＞0，得（）^x＞1=（）⁰，由于（）＞1，所以x＞0，
故f（x）的定義域為（0，+∞），任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴f（x₁）=lg（a^x₁-b^x₁），f（x₂）=lg（a^x₂-b^x₂）
而f（x₁）-f（x₂）=（a^x₁-b^x₁）-（a^x₂-b^x₂）=（a^x₁-a^x₂）+（b^x₂-b^x₁）
∵a＞1＞b＞0，∴y=a^x在R上為增函數，y=b^x在R上為減函數，
∴a^x₁-a^x₂＜0，b^x₂-b^x₁＜0，∴（a^x₁-b^x₁）-（a^x₂-b^x₂）＜0，即（a^x₁-b^x₁）＜（a^x₂-b^x₂）
又∵y=lgx在（0，+∞）上為增函數，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在[0，+∞）上為增函數，
一方面，當a-b＞1時，由f（x）＞0可推得，f（x）的最小值大于0，
而當x∈[1，+∞），f（x）＞0，故只需x∈[1，+∞）；
另一方面，當a-b＞1時，由f（x）在[0，+∞）上為增函數，
可知當x∈[1，+∞）時，有f（x）＞f（1）＞0，即f（x）取正值，
故當a-b＞1時，f（x）取正值的充要條件是x∈[1，+∞），
故選B
點評：本題考查充要條件的判斷，涉及函數定義域和單調性，屬基礎題．