Question

設(shè)[x]是不大于x的最大整數(shù)．若函數(shù)f（x）=|x-[x+a]|存在最大值，則正實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：記為實數(shù)b的小數(shù)部分，再根據(jù)[x]的定義和解析式對a、x分類討論，分別求出對應(yīng)的解析式，并判斷出是否有最大值．

解答： 解：記為實數(shù)b的小數(shù)部分，即=b-[b]．
當(dāng)a≥1時，[x+a]＞x，因此f（x）=[x+a]-x，是以1為周期的周期函數(shù)，
因此當(dāng)x∈[0，1-{a}）時，f（x）=[a]+0-x，
當(dāng)x∈[1-{a}，1）時，f（x）=[a]+1-x，f（x）在x=1-{a}處達到最大值a．
當(dāng)a≤0時，f（x）=x-[x+a]，類似可知f（x）沒有最大值．
當(dāng)a∈（0，1）時，若x∈[0 1-{a}），f（x）=x，
若x∈[1-{a}，1），f（x）=1-x．
于是當(dāng)a≥

1

2

時，f（x）有最大值；當(dāng)a＜

1

2

時，f（x）沒有最大值．
綜上知a≥

1

2

時，f（x）有最大值，
故答案為：[

1

2

，+∞)．

點評：本題考查取整函數(shù)的定義，關(guān)鍵是確定只需討論f（x）在[0，1）上的最值即可，考查分類討論思想．