Question

（1）設(shè)橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦點與拋物線y²=8x的焦點相同，離心率為

1

2

，求橢圓的標準方程．
（2）設(shè)雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦點，且與橢圓相交，一個交點A的縱坐標為4，求此雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：（1）由拋物線方程得到它的焦點坐標為F（2，0）也是橢圓的右焦點，由此得到m²-n²=4．根據(jù)橢圓離心率為

1

2

，得到m²-n²=

1

4

m²，聯(lián)解得到m²=16，n²=12，即得該橢圓的標準方程；
（2）根據(jù)橢圓

x2

27

+

y2

36

=1經(jīng)過點A的縱坐標為4，算出A的橫坐標是±

15

，得A（±

15

，4）．算出橢圓的焦點坐標為（0，±3）也是雙曲線的焦點，由此可設(shè)雙曲線方程為

y2

k

-

x2

9-k

=1（0＜k＜9），代入點A坐標解出k=4，從而得到此雙曲線的標準方程．

解答：解：（1）∵拋物線y²=8x的焦點坐標為F（2，0）
∴橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦點為F（2，0），可得m²-n²=4…①
∵橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

，∴

m2-n2

m2

=

1

4

…②
聯(lián)解①②，得m²=16，n²=12
∴該橢圓的標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）∵橢圓

x2

27

+

y2

36

=1經(jīng)過點A的縱坐標為4
∴設(shè)A（t，4），可得

t2

27

+

16

36

=1，解之得t=±

15

，A（±

15

，4）
∵橢圓

x2

27

+

y2

36

=1的焦點為（0，±3），雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦點，
∴雙曲線的焦點為（0，±3），因此設(shè)雙曲線方程為

y2

k

-

x2

9-k

=1（0＜k＜9）
將點A（±

15

，4）代入，得

16

k

-

15

9-k

=1，解之得k=4（舍負）
∴雙曲線方程為

y2

4

-

x2

5

=1

點評：本題給出兩個曲線有公共的焦點，在已知它們一個交點坐標的情況下求曲線的方程，著重考查了橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．