Question

1．長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，點(diǎn)E是BB₁的中點(diǎn)，則D₁A與平面AEC所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{13}}}{5}$

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，利用向量的方法，即可求出D₁A與平面AEC所成角的余弦值．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0，0），C（2，2，0），E（2，0，2），
D₁（0，2，4），
∴$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，2，4），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（2，0，2），
設(shè)平面AEC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{2x+2z=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴D₁A與平面AEC所成角的余弦值為|$\frac{-2-4}{\sqrt{4+16}•\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角，考查向量方法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．