Question

設函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱以（x₀，x₀）為坐標的點為函數(shù)f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數(shù)f（x）=

3x+a

x+b

圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求a，b應滿足的條件；
（2）在（1）的條件下，若a=8，記函數(shù)f（x）圖象上的兩個不動點分別為A、B，點M為函數(shù)圖象上的另一點，且其縱坐標y_M＞3，求點M到直線AB距離的最小值及取得最小值時M點的坐標；
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點的有奇數(shù)個”是否正確？若正確，給出證明，并舉一例；若不正確，請舉一反例說明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)不動點的定義，得出方程=

3x+a

x+b

=x有兩不等的實根，且互為相反數(shù)．轉化成二次方程，利用根與系數(shù)的關系求解．
（2）先求出直線AB的方程是y=x，設點M（x，y）到直線y=x的距離為d，利用點到直線距離公式列出d的表達式，消元后轉化成一元函數(shù)，求最值即可．
（3）定義在R上的奇函數(shù)f（x）必有f（0）=0，且 若f（x）除0外還有不動點（x₁，x₁），結合奇函數(shù)的定義得出，（-x₁，-x₁）也是函數(shù)的不動點．共有奇數(shù)個不動點．

解答：解：（1）若點（x₀，x₀）是不動點，則

3x0+a

x0+b

=x0，
即x₀²+（b-3）x₀-a=0（1分）
由題意方程有兩絕對值相等，符號相反的根，∴b-3=0，且-a＜0
即：b=3，且a＞0．…（3分）
由x₀≠-b知，a≠9，∴b=3，a＞0且a≠9．…（5分）
（2）當a=8時，由題意f（x）=

3x+8

x+3

．直線AB的方程是y=x．…（6分）
設點M（x，y）到直線y=x的距離為d，則d=

|x-y|

2

=

1

2

|

8-3y

y-3

-y|=

1

2

|

8-y2

y-3

|=

2

2

•

y2-9+1

y-3

=

2

2

[(y+3)+

1

y-3

]
=

2

2

[(y-3)+

1

y-3

+6]≥4

2

…（9分）
當且僅當y-3=

1

y-3

即y=4時，不等式取等號，
此時x=-4，M（-4，4）．…（10分）
（3）命題正確…（11分）
由f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=f（x），取x=0，得f（0）=0，
即（0，0）為函數(shù)的不動點．…（12分）
如果f（x）除0外還有不動點（x₁，x₁），x₁≠0，則不動點f（x₁）=x₁
又∵f（-x₁）=-f（x₁）=-x₁，∴（-x₁，-x₁）也是函數(shù)的不動點．
∴若定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點的有奇數(shù)個．（13分）
例f（x）=x³．…（14分）

點評：本題是新定義類型題目．考查方程的解的個數(shù)判斷，奇函數(shù)的定義、性質，點到直線距離，函數(shù)求最值的知識和消元思想．考查計算、論證能力．