Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-3（a-1）x²+4x+6a（a∈R），g（x）=4x+6．
（1）若函數(shù)y=f（x）的切線斜率的最小值為1，求實數(shù)a的值；
（2）若兩個函數(shù)圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用二次函數(shù)的最小值的為1，解方程即可求得實數(shù)a的值；
（2）將題中條件：“兩個函數(shù)圖象有且只有一個公共點，”等價于“h（x）=f（x）-g（x）=2x³-3（a-1）x²+6（a-1）圖象與x軸只有一個交點”，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極值，最后要使h（x）=f（x）-g（x）=2x³-3（a-1）x²+6（a-1）圖象與x軸只有一個交點，得到關(guān)于a的不等關(guān)系，從而求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=2x³-3（a-1）x²+4x+6a，求導(dǎo)得
f′（x）=6x²-6（a-1）x+4≥

4×6×4-36(a-1)2

4×6

=4-

3

2

(a-1)2=1，
∴a=1±

2

，
（2）∵g（x）=4x+6的圖象是一條直線，
因此兩個函數(shù)圖象有且只有一個公共點的個數(shù)取決于方程f（x）=g（x）的解的個數(shù)，
所以只需研究函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=2x³-3（a-1）x²+6（a-1）圖象與x軸關(guān)系．
h′（x）=6x²-6（a-1）x=6x[x-（a-1）]，
①當(dāng)a=1時，h′（x）=6x²≥0，h（x）在R上單調(diào)遞增，則h（x）與x軸只有一個交點；
②當(dāng)a≠1時，h′（x）=0有兩根x₁=0，x₂=a-1，
而h（x₁）=6（a-1），h（x₂）=（a-1）[6-（a-1）²]，
∵h(yuǎn)（x）與x軸只有一個交點，則需h（x₁）h（x₂）＞0，
∴6（a-1）（a-1）[6-（a-1）²]＞0，解得1-

6

＜a＜1+

6

且a≠1，
由①②可知實數(shù)a的取值范圍為（1-

6

，1+

6

）．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，轉(zhuǎn)化思想．屬中檔題．