【題目】如圖,在三棱錐中,
,點(diǎn)
為邊
的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】分析:(1)由題意,平面
,得
,又△
為等邊三角形,得
,
與
相交于點(diǎn)
,利用線面垂直的判定定理得
平面
,再由面面垂直的判定定理,即可得到結(jié)論.
(2)由(1)可知,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線
為
軸,直線
為
軸,過(guò)點(diǎn)
且與平面
垂直的直線為
軸建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面
和平面
的法向量,利用向量的夾角公式,即可得到二面角的余弦值.
詳解:(1)由題意,平面
,
平面
,可得
,又△
為等邊三角形,點(diǎn)
為
邊的中點(diǎn),可得
,
與
相交于點(diǎn)
,則
平面
,
平面
,所以,平面
平面
.
(2)由(1)可知,在直角三角形中,
,
,可得
,以點(diǎn)
為坐標(biāo)原點(diǎn),直線
為
軸,直線
為
軸,過(guò)點(diǎn)
且與平面
垂直的直線為
軸建立空間直角坐標(biāo)系.
可得,
,
,
,
,
,
,
,
設(shè)為平面
的一個(gè)法向量,則
,得
,
同理可得,為平面
的一個(gè)法向量,
設(shè)二面角的平面角為
,
,
所以,二面角余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品,每件銷售收入分別為3000元,2000元.甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工,在每臺(tái)A、B設(shè)備上加工一件甲所需工時(shí)分別為1,2
,加工一件乙設(shè)備所需工時(shí)分別為2
,1
.A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為400
和500
,分別用
表示計(jì)劃每月生產(chǎn)甲,乙產(chǎn)品的件數(shù).
(Ⅰ)用列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(Ⅱ)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件,可使收入最大?并求出最大收入.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四邊形為直角梯形,
,
,且
,
,點(diǎn)
,
分別在線段
和
上,使四邊形
為正方形,將四邊形
沿
翻折至使
.
(1)若線段中點(diǎn)為
,求翻折后形成的多面體
的體積;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某區(qū)組織部為了了解全區(qū)科級(jí)干部“黨風(fēng)廉政知識(shí)”的學(xué)習(xí)情況,按照分層抽樣的方法,從全區(qū)320名正科級(jí)干部和1280名副科級(jí)干部中抽取40名科級(jí)干部預(yù)測(cè)全區(qū)科級(jí)干部“黨風(fēng)廉政知識(shí)”的學(xué)習(xí)情況.現(xiàn)將這40名科級(jí)干部分為正科級(jí)干部組和副科級(jí)干部組,利用同一份試卷分別進(jìn)行預(yù)測(cè).經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)后,兩組各自將預(yù)測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析如下表:
分組 | 人數(shù) | 平均成績(jī) | 標(biāo)準(zhǔn)差 |
正科級(jí)干部組 | 80 | 6 | |
副科級(jí)干部組 | 70 | 4 |
(1)求;
(2)求這40名科級(jí)干部預(yù)測(cè)成績(jī)的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差
;
(3)假設(shè)該區(qū)科級(jí)干部的“黨風(fēng)廉政知識(shí)”預(yù)測(cè)成績(jī)服從正態(tài)分布,用樣本平均數(shù)
作為
的估計(jì)值
,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差
作為
的估計(jì)值
.利用估計(jì)值估計(jì):該區(qū)科級(jí)干部“黨風(fēng)廉政知識(shí)”預(yù)測(cè)成績(jī)小于60分的約為多少人?
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布
,則
;
;
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)a為非負(fù)實(shí)數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),畫出函數(shù)
的草圖,并寫出函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
為實(shí)常數(shù).
(Ⅰ)判斷的奇偶性;
(Ⅱ)若對(duì)任意,使不等式
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng),每次抽獎(jiǎng)都是從裝有個(gè)紅球、
個(gè)白球的甲箱和裝有
個(gè)紅球、
個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出一個(gè)球,在摸出的
個(gè)球中,若都是紅球,則獲得一等獎(jiǎng);若只有
個(gè)紅球,則獲得二等獎(jiǎng);若沒有紅球,則不獲獎(jiǎng).
(1)求顧客抽獎(jiǎng)次能獲獎(jiǎng)的概率;
(2)若某顧客有次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在
次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為
,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)有下面四個(gè)命題:
:若
,則
;
:若
,則
;
:若
,則
;
:若
,則
.
其中的真命題為( )
A. ,
B.
,
C.
,
D.
,
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