Question

甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率是

1

2

，乙每次擊中目標的概率是

2

3

．
（1）求甲至多擊中2次，且乙至少擊中2次的概率；
（2）若規(guī)定每擊中一次得3分，未擊中得-1，求乙所得分數(shù)ξ的概率和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）先甲至多擊中2次的概率，再計算出乙至少擊中2次的概率，利用互斥事件的概率公式即可得到結論；
（2）確定乙所得分數(shù)ξ的可能取值，求出相應的概率，寫出分布列，即可求得數(shù)學期望．

解答：解：（1）甲至多擊中2次的概率P(A)=(

1

2

)3+

C

1 3

(

1

2

)1(

1

2

)2+

C

2 3

(

1

2

)2•

1

2

=

1

8

+

3

8

+

3

8

=

7

8

…（2分）
乙至少擊中2次的概率P(B)=

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

+(

2

3

)3=3×

4

27

+

8

27

=

20

27

…（4分）
∴甲至多擊中2次且乙至少擊中2次的概率為P(A)•P(B)=

7

8

×

20

27

=

35

34

…（6分）
（2）由題意ξ=-3，1，5，9，則
P(ξ=-3)=(

1

3

)3=

1

27

…（7分）
P(ξ=1)=

C

1 3

2

3

(

1

3

)2=

6

27

…（8分）
P(ξ=5)=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)=

12

27

…（9分）
P(ξ=9)=(

2

3

)3=

8

27

…（10分）
∴ξ的分布列為

ξ	-3	1	5	9
P	1 27	6 27	12 27	8 27

∴Eξ=(-3)×

1

27

+1×

3

27

+5×

12

27

+9×

8

27

=

135

27

=5…（12分）

點評：本題考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機變量的期望，確定變量的取值，求出相應的概率是關鍵．