Question

已知點(diǎn)M 在橢圓D ：上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)，若圓M與y軸相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABM是邊長(zhǎng)為的正三角形，
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓D上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l交x軸于點(diǎn)F（-1，0），交y軸于點(diǎn)Q，若，求直線l的斜率；
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)G（0，-2）作直線GK與橢圓N：左半部分交于H，K兩點(diǎn)，又過(guò)橢圓N的右焦點(diǎn)F₁做平行于HK的直線交橢圓N于R，S兩點(diǎn)，試判斷滿足的直線GK是否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)?IMG style="WIDTH: 53px; HEIGHT: 11px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120506/201205061104552451103.png">是邊長(zhǎng)為的正三角形，
所以圓M的半徑，M到y(tǒng)軸的距離為，
即橢圓的半焦距，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓：上，
所以，
又，
解得：，
所求橢圓D的方程為。
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，
設(shè)直線斜率為k，直線l的方程為，
則有，
設(shè)，由于P、Q、F三點(diǎn)共線，且，
根據(jù)題意得，
解得，
又P在橢圓D上，
故，解，
綜上，直線l的斜率為。
（Ⅲ）由（Ⅰ）得：橢圓N的方程為…①，
由于，
設(shè)直線GK的方程為…②，
則直線RS的方程為…③
設(shè)，
聯(lián)立①②消元得：，
所以，
所以， 
設(shè)，
聯(lián)立①③消元得：，
所以，，，
，
由，化簡(jiǎn)得：，
顯然無(wú)解，
所以滿足的直線GK不存在。