Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-∞，0）時，xf′（x）＜f（-x）成立（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）．若a=

3

f（

3

），b=f（1），c=（log₂

1

4

）f（log₂

1

4

），則a、b、c的大小關(guān)系是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時，xf′（x）＜f（-x）等價為xf′（x）+f（x）＜0，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），
則g′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
且函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
則a=

3

f（

3

）=g（

3

），b=f（1）=g（1），c=（log₂

1

4

）f（log₂

1

4

）=g（log₂

1

4

）=g（-2）=g（2）
∵1＜

3

＜2，
∴g（1）＜g（

3

）＜g（2），
即b＜a＜c，
故答案為：b＜a＜c

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)的奇偶性構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．