Question

已知數(shù)列{a_n}滿足an=(n-a)2(n+1)，且在n≥4，n∈N^*時遞增，則滿足條件的最大整數(shù)a的值是

4

．

Answer 1

分析：利用數(shù)列{a_n}在n≥4，n∈N^*時遞增，觀察函數(shù)an=(n-a)2(n+1)的圖象，等價于第5項大于第4項，且a≤5，據(jù)此求出a的范圍即可得到滿足條件的最大整數(shù)a的值．

解答：解：在直角坐標系中作出函數(shù)an=(n-a)2(n+1)的圖象，
如圖所示．
由于an′=2(n-a) (n+1)+(n-a)2，
故n=a是函數(shù)an=(n-a)2(n+1)的一個極值點，
且函數(shù)an=(n-a)2(n+1)在[a，+∞）是單調(diào)增函數(shù)，
由函數(shù)圖象可知，
數(shù)列{a_n}滿足an=(n-a)2(n+1)，且在n≥4，n∈N^*時遞增，
等價于：a₅＞a₄，且a≤5，
即（5-a）²（5+1）＞（4-a）²（4+1），且a≤5
解得a＞10+

30

或a＜10-

30

，且a≤5，
則滿足條件的a的取值范圍是：a＜10-

30

，
由于10-

30

≈4.5．
從而滿足條件的最大整數(shù)a的值是：a=4．
故答案為：4．

點評：本題是中檔題，考查數(shù)列的函數(shù)特性、數(shù)列的單調(diào)性，注意推出數(shù)列的第5項大于第4項，是解題的關鍵．