Question

已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，PA=AD=1，AB=2．M、N分別是PD、CD的中點(diǎn)．
（I）求證：MN⊥AD；
（II）求二面角A-MN-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩條直線的方向向量的夾角即可；
（Ⅱ）利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出．

解答：（Ⅰ）證明：在△ADC中，由余弦定理可得：AC²=1²+2²-2×1×2×cos60°=3，
∴AC²+AD²=CD²，∴AC⊥AD．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），C(

3

，0，0)，D（0，1，0），P（0，0，1），M(0，

1

2

，

1

2

)，
N(

3

2

，

1

2

，0)．
∴

MN

=(

3

2

，0，-

1

2

)，又

AD

=(0，1，0)，
∴

MN

•

AD

=0，∴

MN

⊥

AD

，即MN⊥AD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

AM

=(0，

1

2

，

1

2

)，

CM

=(-

3

，

1

2

，

1

2

)．
設(shè)平面AMN的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n

•

AM

=0，

n

•

MN

=0，
可得

1 2 y+ 1 2 z=0 3 2 x- 1 2 z=0

，令z=

3

，則y=-

3

，x=1，
∴

n

=(1，-

3

，

3

)．
同理可得平面CMN的法向量

m

=(1，

3

，

3

)．
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

=

1

7 7

=

1

7

．
∴二面角A-MN-C的平面角的余弦值為

1

7

．

點(diǎn)評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩條直線的方向向量的夾角求異面直線所成的角、利用兩個(gè)平面的法向量的夾角求二面角是解題的關(guān)鍵．