Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C方程為

x=5cosφ y=3sinφ

(φ為參數(shù)）
（Ⅰ）求過橢圓的右焦點，且與直線

x=4-2t y=3-t

(t為參數(shù)）平行的直線l的普通方程．
（Ⅱ）求橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）將橢圓化成標準方程，得

x2

25

+

y2

9

=1，算出右焦點F（4，0），再將已知直線的斜率求出，得到所求直線l的點斜式方程，化簡即得直線l的普通方程．
（II）設(shè)點A（x，y）是橢圓上一點，由橢圓的對稱性得矩圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積S=4|xy|，代入?yún)��?shù)方程的數(shù)據(jù)并用二倍角三角函數(shù)公式化簡得S=30sin2φ，最后結(jié)合正弦函數(shù)的最值，不難得到S的最大值．

解答：解：（I）由

x=5cosφ y=3sinφ

，消去參數(shù)得：

x2

25

+

y2

9

=1
∴橢圓表示焦點在x軸上的橢圓，且a²=25，b²=9，得c=

a2-b2

=4
由此，得橢圓的右焦點為F（4，0），
又∵已知直線的參數(shù)方程可化為普通方程：x-2y+2=0，
∴所求直線的斜率k=

1

2

，得直線方程為y=

1

2

（x-4），化簡得x-2y+4=0．
（II）設(shè)點A（x，y）是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一點，
∴矩形ABCD面積S=4|xy|=60sinφcosφ=30sin2φ，
∵sin2φ≤1當2φ=

π

2

時等號成立，
∴橢圓C的內(nèi)接矩形ABCD面積最大為30．

點評：本題給出橢圓的參數(shù)方程，求它的焦點坐標并求內(nèi)接矩形面積的最值，考查了橢圓的基本概念、直線的方程和三角函數(shù)的化簡與求最值等知識，屬于中檔題．