設(shè)a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊,其外接圓半徑為1,且(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,b、c是方程x2-3x+4cosA=0的兩根(b＞c).

(1)求角A的度數(shù)及a、b、c的值;

(2)判定△ABC的形狀,并求其內(nèi)切圓的半徑.

解:(1)由韋達(dá)定理b+c=3,b·c=4cosA,由正弦定理b=2RsinB=2sinB,c=2sinC.

∴2(sinB+sinC)=3,sinB·sinC=cosA.

∵（sinB+sinC+sinA）(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,

    利用平方差公式展開為（sinB+sinC）2-sin2A=3sinBsinC,

    把sinB＋sinC＝,sinB·sinC=cosA代入上式可得-sin2A=3cosA.

    整理得4cos2A-12cosA+5=0,

    即(2cosA-5)(2cosA-1)=0,

∴cosA=,cosA=(舍去).

∴∠A=60°.∴

∵b＞c,∴b=2,c=1.

    由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=22+12-2×2×1×=3,∴a=.

(2)∵b2=a2+c2(由勾股定理).

∴△ABC是直角三角形.

    如圖所示,設(shè)內(nèi)切圓半徑是r,則∠OAB=30°,

    在△OAD中,AD=rcot30°=r,∴r+r=1.∴內(nèi)切圓半徑r=.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a、b、c分別是方程2x=log
1
2
x，(
1
2
)x=log
1
2
x，(
1
2
)x=log2x的實數(shù)根，則（　　）
A、c＜b＜a
B、a＜b＜c
C、b＜a＜c
D、c＜a＜b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a、b、c分別是△ABC三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對邊，若向量
m
=(1-cos(A+B)，cos
A-B
2
)，
n
=(
5
8
，cos
A-B
2
)且
m
•
n
=
9
8
，
（1）求tanA•tanB的值；
（2）求
absinC
a2+b2-c2
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a、b、c分別是函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-log2x，g(x)=2x-log
1
2
x，h(x)=(
1
2
)x-log
1
2
x的零點，則a、b、c的大小關(guān)系為（　　）
A、b＜c＜a
B、a＜b＜c
C、b＜a＜c
D、c＜b＜a

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a、b、c分別是先后擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子三次得到的點數(shù)．
（1）求使函數(shù)f(x)=
1
3
bx3+
1
2
(a+c)x2+(a+c-b)x-4在R上不存在極值點的概率；
（2）設(shè)隨機(jī)變量ξ=|a-b|，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，設(shè)a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，b=2，c=1，面積S△ABC=
1
2
，則內(nèi)角A的大小為
π
6
或
5π
6
π
6
或
5π
6
．

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