Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）求直線FD與平面ABCD所成的角的正切值；
（2）求點D到平面BCF的距離；
（3）求二面角B-FC-D的大�。�

Answer 1

解：（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°，
即EA⊥AB，而平面ABFE∩平面ABCD=AB，
∴EA⊥平面ABCD．作FH∥EA交AB于H，則FH⊥平面ABCD．
連接DH，則∠FDH為直線FD與平面ABCD所成的角．
在Rt△FHD中，∵FH=EA=1，DH=，
∴
（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，
∴EA⊥平面ABCD．
分別以AD，AB，AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A（0，0，0）、D（1，0，0）、C（1，2，0）、E（0，0，1）、B（0，2，0）、
F（0，1，1），
∴．
∵，∴⊥平面BCF，
即=（0，1，1）為平面BCF的一個法向量，
又，
∴點D到平面BCF的距離為．
（3）∵，設為平面CDEF的一個法向量，則令x=1，得z=1，
即．
又（1）知，為平面BCF的一個法向量，
∵＜，＞=，
且二面角B-FC-D的平面角為鈍角，
∴二面角B-FC-D的大小為120°．

分析：（1）根據面與面垂直的性質定理．得到線與面垂直，有面的垂線后面再做線與面的角，就好做了，得到線面角，在一個可解的三角形中，求出線面角的正切值．
（2）結合圖形建立坐標系，寫出要用的點的坐標，做出面的法向量，和要用的直線的對應的向量，根據點到直線的距離公式得到結果．
（3）在圖形中的坐標系的基礎上，寫出要用的兩個平面的法向量，求出法向量的坐標，其中有一個平面的法向量不用求出，是圖形中存在的一個向量，求出兩個平面所成的角．
點評：本題是一個立體幾何的綜合題目，考查的幾個大的知識點，解題時要注意求線面角時注意用向量所求的是線面角的正弦值，不要出錯．